Man stelle sich folgendes Glücksspiel vor: Hinter drei Türen sind zweimal je eine Niete und einmal ein Gewinn versteckt. Wenn vom Spieler eine der Türen gewählt wurde, wird vom Spielleiter, der weiß, wo sich der Gewinn befindet, diejenige der beiden nicht gewählten Türen, hinter der sich die Niete befindet. Danach darf noch einmal neu gewählt werden.
Dieses Spiel gab es tatsächlich als Fernsehshow in Amerika unter dem Titel Let's make a deal und in Deutschland unter dem Titel Geh aufs Ganze!
Die Frage ist nun: Macht es Sinn, die erste Wahl zu revidieren und die verbleibende Tür zu wählen? Dies soll durch folgende Grafik schematisch veranschaulicht werden:
Die erstaunliche Antwort: Ja, das macht Sinn! Denn die Wahrscheinlichkeit, dass sich dahinter der Gewinn befindet, ist 2:3. Bei der ersten Wahl war die Wahrscheinlichkeit nur 1:3!
„Das kann aber doch nicht sein! Wie soll sich denn durch das Öffnen einer der Türen die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl ändern, die man bereits getroffen hatte?“, schreit die Intuition geradezu laut auf!
Oder nüchtern betrachtet: Nachdem klar ist, dass sich hinter der zweiten Tür eine Niete befindet, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gewinn hinter einer der beiden verbleibenden Türen befindet, jeweils 1:2! Es macht also keinen Unterschied, ob man sich umentscheidet oder nicht!
Doch, macht es!
Denn die Wahrscheinlichkeit, dass sich hinter der dritten Tür der Gewinn befindet, ist die Summe aus den Wahrscheinlichkeiten der beiden ursprünglich nicht gewählten zweiten und dritten Tür von je 1:3 - also 2:3! Nun wird aber eine dieser beiden Türen geöffnet. Dadurch erhält man eine Zusatzinformation: Wenn sich der Gewinn hinter einer der beiden verbleibenden Türen befinden würde, dann befindet er sich zu 100% hinter der dritten Tür. Diese „erbt“ sozusagen die Wahrscheinlichkeit von 2:3 der beiden nicht gewählten Türen.
Die Sache wird vielleicht durch ein Gedankenexperiment mit drei Versuchen klarer. Der Gewinn sei bei den drei Versuchen jeweils einmal hinter jeder Tür. Würde man sich nach dem Zeigen der Niete jeweils nicht mehr umentscheiden (Strategie A), würde man nur im ersten Fall gewinnen (1:3). Würde man sich dagegen immer umentscheiden (Strategie B), würde man zweimal gewinnen (2:3)! Dies soll durch folgende Grafik schematisch veranschaulicht werden:
Bei 10.000 Versuchen würde man bei Strategie A demnach 3.333 Gewinne und bei Strategie B 6.677 Gewinne erwarten. Natürlich würden sich nicht genau diese Werte ergeben, aber mit 99,9% Sicherheit läge der Wert bei Strategie A näher an 3.333 als an 6.667 und bei Strategie B näher an 6.667 als an 3.333. Und mit zunehmender Versuchsanzahl würde sich der Wert dem statistisch erwarteten Wert immer weiter annähern.
Da sich die Intuition so hartnäckig gegen diese Erkenntnis sperrt, dass sich selbst mancher Mathematiker weigert, sie zu akzeptieren, wurde das tatsächlich experimentell durchgespielt und bestätigt!
Das Drei-Türen-Dilemma wird oft als Beispiel herangezogen, um zu zeigen, dass die menschliche Intuition zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.
Was bedeutet das aber auf einer philosophischen Ebene?
Durch Wahrscheinlichkeitsmathematik werden Gesetze sichtbar, die zur Struktur der Wirklichkeit gehören. Diese Gesetze treffen aber keine Vorhersage über den Einzelfall. Bezogen auf das Drei-Türen-Dilemma bedeutet das: Ob man gewinnt oder nicht, lässt sich bei einem einzigen Versuch nicht vorhersagen. Genauso wenig bestimmt die Kette an vorhergegangenen Versuchen das Ergebnis des jeweils nächsten Versuches. Auch die Wahl von hundert Nieten hintereinander hat keinerlei deterministische „Wirkung“ auf den hundertundeinsten Versuch - auch der kann wieder eine Niete sein. Und dennoch: Mit steigender Anzahl von Versuchen, wird sich das Ergebnis den erwarteten Werten annähern. Dies wird als Gesetz der großen Zahlen bezeichnet. Es besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel um die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Zufallsergebnisses stabilisiert, wenn das zugrundeliegende Zufallsexperiment immer wieder unter denselben Voraussetzungen durchgeführt wird.
Und da dies so ist, muss dieses Gesetz auf irgendeine Art zur Struktur der Wirklichkeit gehören. Dennoch "gehorcht" der Einzelfall diesem Gesetz nicht. Dies ist eines der großen Rätsel der Wirklichkeit. Insbesondere in der Quantentheorie kommt man immer wieder mit diesem Rätsel in Berührung, denn Quanten lassen sich nur statistisch beschreiben. Dies unterscheidet die Quantenwelt von der Welt der festen Gegenstände, in der wir leben und in der deterministische Gesetze zu herrschen scheinen. In der Welt, so wie wir Menschen sie wahrnehmen, scheint alles deterministisch zu sein, weil diese Welt aus einer unvorstellbaren Anzahl von Quanten gebildet wird, in der die statistischen Gesetze aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen zu faktischen Gesetzen werden.
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